专访国美互联网CEO方巍：国美与新零售更像一对亲

百度 但在中科院神经科学研究所所长、脑科学与智能技术卓越创新中心蒲慕明院士看来，这对海外留学的青年科学家是很难想象的。

Αντιμεταθετικ? ?λγεβρα ε?ναι ο κλ?δο? τη? ?λγεβρα? που ασχολε?ται με τη μελ?τη των αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων, των ιδεωδ?ν του? και των modules που παρ?γονται π?νω απ? αυτο?? του? δακτ?λιου?. Η αντιμεταθετικ? ?λγεβρα αποτελε? βασικ? εργαλε?ο τη? αλγεβρικ?? γεωμετρ?α? και τη? αλγεβρικ?? θεωρ?α? αριθμ?ν. Βασικ? παραδε?γματα αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων αποτελο?ν τα σ?ματα, ο δακτ?λιο? των ακερα?ων καθ?? και οι πολυωνυμικο? (μια? ? περισσοτ?ρων μεταβλητ?ν) δακτ?λιοι, οι δακτ?λιοι των αλγεβρικ?ν ακερα?ων και οι δακτ?λιοι των p-αδικ?ν αριθμ?ν.

Η μελ?τη μη-αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων ονομ?ζεται μη-αντιμεταθετικ? ?λγεβρα, η οπο?α περιλαμβ?νει τη θεωρ?α δακτυλ?ων, τη θεωρ?α αναπαραστ?σεων και τη θεωρ?α των αλγεβρ?ν Banach.

Επισκ?πηση

Η αντιμεταθετικ? ?λγεβρα ε?ναι ουσιαστικ? η μελ?τη των δακτυλ?ων που υπ?ρχουν στην αλγεβρικ? θεωρ?α αριθμ?ν και την αλγεβρικ? γεωμετρ?α.

Στην αλγεβρικ? θεωρ?α αριθμ?ν, οι δακτ?λιοι των αλγεβρικ?ν ακερα?ων ε?ναι οι δακτ?λιοι του Dedekind, οι οπο?οι αποτελο?ν, συνεπ??, μια σημαντικ? κατηγορ?α των αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων. Οι εκτιμ?σει? που σχετ?ζονται με την αριθμητικ? του μ?τρου οδ?γησαν στην ?ννοια του δακτυλ?ου αποτ?μηση?. Ο περιορισμ?? του τομ?α τη? αλγεβρικ?? επ?κταση? ?σον αφορ? του? υποδακτυλ?ου? οδ?γησε στι? ?ννοιε? τη? ολοκληρωματικ?? επ?κταση? και των ολοκληρωματικ? κλειστ?ν πεδ?ων ορισμο? , καθ?? και στην ?ννοια τη? διακλ?δωση? μια? επ?κταση? των αποτιμημ?νων δακτυλ?ων.

Η ?ννοια του εντοπισμο? εν?? δακτυλ?ου(ιδ?ω? ο εντοπισμ?? ?σον αφορ? το πρ?το ιδε?δε?, ο οπο?ο? συν?σταται απ? την αναστροφ? εν?? ενια?ου στοιχε?ου και το ολικ? πηλ?κο δακτυλ?ου) ε?ναι μ?α απ? τι? κ?ριε? διαφορ?? μεταξ? αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα? και τη? θεωρ?α των μη-αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων. Αυτ? οδηγε? σε μια σημαντικ? κατηγορ?α αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων, του? τοπικο?? δακτ?λιου? που ?χουν μ?νο ?να μεγιστοτικ? ιδε?δε?. Το σ?νολο των πρ?των ιδεωδ?ν των αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων ε?ναι φυσικ? εξοπλισμ?νο με μια τοπολογ?α, την Zariski τοπολογ?α. ?λε? αυτ?? οι ?ννοιε? χρησιμοποιο?νται ευρ?ω? στην αλγεβρικ? γεωμετρ?α και αποτελο?ν τα βασικ? τεχνικ? εργαλε?α για τον καθορισμ? τη? θεωρ?α? σχ?ματο?, μια γεν?κευση τη? αλγεβρικ?? γεωμετρ?α? που εισ?γεται απ? τον Grothendieck.

Πολλ?? ?λλε? ?ννοιε? τη? αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα? ε?ναι ομ?λογε? των γεωμετρικ?ν εννοι?ν που συναντ?νται στην αλγεβρικ? γεωμετρ?α. Αυτ? ε?ναι η περ?πτωση τη? δι?σταση? του Krull, τη? πρωτοβ?θμια? παραγοντοπο?ηση?, των κανονικ?ν δακτυλ?ων, των Cohen-Mecaulay δακτυλ?ων, των Gorenstein δακτυλ?ων και πολλ?ν ?λλων εννοι?ν.

Ιστορ?α

Το θ?μα, που ?ταν αρχικ? γνωστ? ω? θεωρ?α ιδεωδ?ν, ξεκ?νησε με την εργασ?α του Richard Dedekinds σχετικ? με ιδανικ?, η οπο?α βασ?στηκε στο προγεν?στερο ?ργο του Ernst Kummer και του Leopold Kronecker. Αργ?τερα, ο David Hilbert εισ?γαγε τον ?ρο δακτ?λιο? προκειμ?νου να γενικε?σει τον προηγο?μενο ?ρο δακτ?λιο? αριθμ??. Ο Hilbert εισ?γαγε μια απ? τι? πιο αφηρημ?νε? προσεγγ?σει? προκειμ?νου να αντικαταστ?σει τι? πιο συγκεκριμ?νε? και υπολογιστικ? προσανατολισμ?νε? μεθ?δου? που στηρ?ζονται σε θ?ματα ?πω? η σ?νθετη αν?λυση και η κλασικ? αμετ?βλητη θεωρ?α. Με τη σειρ? του, ο Hilbert επηρε?ζεται ?ντονα απ? την Emmy Noether, η οπο?α αναδιατυπ?νει πολλ? απ? τα προηγο?μενα αποτελ?σματα σε σχ?ση με μια συνθ?κη α?ξουσα? αλυσ?δα?, η οπο?α ε?ναι τ?ρα γνωστ? ω? συνθ?κη Noether. ?να ?λλο σημαντικ? ορ?σημο ?ταν το ?ργο του φοιτητ? του Hilbert, Εμ?νουελ Λ?σκερ, ο οπο?ο? εισ?γαγε τα πρωτε?οντα ιδε?δη και απ?δειξε την πρ?τη εκδοχ? του θεωρ?ματο? Lasker-Noether.

Ο κ?ριο? υπε?θυνο? για τη γ?ννηση τη? αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα? ω? ?να ?ριμο θ?μα ?ταν Wolfgang Krull, ο οπο?ο? εισ?γαγε τι? θεμελι?δει? ?ννοιε? τη? τοπολογ?α? και τη? πλ?ρωση? εν?? δακτυλ?ου, καθ?? και των κανονικ?ν τοπικ?ν δακτυλ?ων. Εισ?γαγε την ?ννοια τη? δι?σταση? Krull εν?? δακτυλ?ου, το πρ?το για του? δακτ?λιου? Noether πριν απ? την κ?νηση του να επεκτε?νει τη θεωρ?α του για να καλ?ψει γενικ? του? αποτιμημ?νου? δακτ?λιου? και του? δακτ?λιου? Krull. Μ?χρι σ?μερα, το κ?ριο ιδανικ? θε?ρημα του Krullθεωρε?ται ευρ?ω? το πιο σημαντικ? θεμελι?δε? θε?ρημα στην αντιμεταθετικ? ?λγεβρα. Τα αποτελ?σματα αυτ? ?νοιξαν το δρ?μο για την εισαγωγ? τη? αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα? στην αλγεβρικ? γεωμετρ?α, μια ιδ?α που θα μπορο?σε να φ?ρει την επαν?σταση στο τελευτα?ο θ?μα.

Μεγ?λο μ?ρο? τη? σ?γχρονη? αν?πτυξη? τη? αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα? δ?νει ?μφαση στι? εν?τητε?. Τα ιδε?δη εν?? δακτυλ?ου R και των R-αλγεβρ?ν ε?ναι ειδικ?? περιπτ?σει? των R-modules, οπ?τε η θεωρ?α του module περιλαμβ?νει τ?σο την ιδανικ? θεωρ?α, ?σο και την θεωρ?α των δακτυλιακ?ν επεκτ?σεων. Αν και ε?χε ?δη ξεκιν?σει με το ?ργο του Kronecker, η σ?γχρονη προσ?γγιση τη? αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα? χρησιμοποι?ντα? την θεωρ?α module, συν?θω? πιστ?νεται στον Krull και στονNoether.

Βασικ? εργαλε?α και αποτελ?σματα

Δακτ?λιοι του Noether

Στα μαθηματικ?, και πιο συγκεκριμ?να στον τομ?α τη? σ?γχρονη? ?λγεβρα?, η οπο?α ε?ναι γνωστ? ω? δακτ?λια θεωρ?α, ?να? δακτ?λιο? Noether, το ?νομ? του οπο?ου προ?ρχεται απ? την Emmy Noether, ε?ναι ?να? δακτ?λιο? στον οπο?ο κ?θε μη-κεν? σ?νολο ιδανικ?ν ?χει ?να μ?γιστο στοιχε?ο. Αντ?στοιχα, ?να? δακτ?λιο? ε?ναι Noether αν ικανοποιε? την συνθ?κη τη? α?ξουσα? αλυσ?δα? για ιδανικ?, δηλαδ?, για κ?θε αλυσ?δα:

$I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

υπ?ρχει ?να n τ?τοιο ?στε:

$I_{n}=I_{n+1}=\cdots$

Για να ε?ναι ?να? αντιμεταθετικ?? δακτ?λιο? Noether αρκε? κ?θε πρ?το ιδε?δε? του δακτυλ?ου να ε?ναι πεπερασμ?να παραγ?μενο. (Το αποτ?λεσμα προ?λθε απ? τον I. S. Cohen.)

Η ?ννοια του δακτ?λιου Noether ε?ναι θεμελι?δου? σημασ?α? τ?σο στην αντιμεταθετικ?, ?σο και στην μη-αντιμεταθετικ? δακτ?λια θεωρ?α, λ?γω του ρ?λου που διαδραματ?ζει στην απλο?στευση τη? ιδανικ?? δομ?? για ?ναν δακτ?λιο. Για παρ?δειγμα, ο δακτ?λιο? των ακερα?ων και ο πολυωνυμικ?? δακτ?λιο? π?νω απ? ?να πεδ?ο ε?ναι και οι δ?ο δακτ?λιοι Noether, και κατ? συν?πεια, θεωρ?ματα ?πω? το θε?ρημα Lasker-Noether, το θε?ρημα τομ?? του Krull, και το θε?ρημα β?ση? του Hilbert προ?ρχονται απ? αυτο?? . Επιπλ?ον, αν ?να? δακτ?λιο? ε?ναι Noether, τ?τε ικανοποιε? την συνθ?κη φθ?νουσα? αλυσ?δα? για τα πρ?τα ιδε?δη. Αυτ? η ιδι?τητα, προτε?νει μια βαθι? θεωρ?α τη? δι?σταση? για του? δακτ?λιου? Noether, ?χοντα? ω? απαρχ? την ?ννοια τη? δι?σταση? του Krull.

Το βασικ? θε?ρημα του Hilbert

Θε?ρημα. Αν R ε?ναι ?να? αριστερ?? Noether δακτ?λιο?, τ?τε ο πολυωνυμικ?? δακτ?λιο? R[X] ε?ναι, επ?ση?, ?να? αριστερ?? Noether δακτ?λιο?.

Το βασικ? θε?ρημα του Hilbert ?χει κ?ποια ?μεσα πορ?σματα:

1. Με επαγωγ? μπορο?με να δο?με ?τι $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , επ?ση?, θα ε?ναι Noether δακτ?λιο?.
2. Απ? οποιαδ?ποτε αφφινικ? πολλαπλ?τητα π?νω απ? το$R^{n}$ (δηλαδ? γεωμετρικ? σ?νολο μια συλλογ? απ? πολυων?μων) μπορε? να γραφτε? ω? ιδανικ?? χ?ρο? ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ και περαιτ?ρω ω? ο γεωμετρικ?? τ?πο? των παραγοντοποι?σεων, προκ?πτει ?τι κ?θε αφφινικ? πολλαπλ?τητα ε?ναι ο γεωμετρικ?? τ?πο? πολλ?ν πεπερασμ?νων πολυων?μων, δηλαδ? η τομ? πολλ?ν πεπερασμ?νων υπερεπιφανει?ν.
3. Αν $A$ ε?ναι μια πεπερασμ?νη-παραγοντοποιημ?νη $R$-?λγεβρα, τ?τε γνωρ?ζουμε ?τι $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$, ?που ${\mathfrak {a}}$ ε?ναι ?να ιδανικ?. Το βασικ? θε?ρημα συνεπ?γεται ?τι ${\mathfrak {a}}$ πρ?πει να ε?ναι πεπερασμ?να παραγ?μενο, ?που ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$, δηλαδ? $A$ ε?ναι πεπερασμ?να παρ?ν.

Πρωτοβ?θμια παραγοντοπο?ηση

?να ιδανικ? Q του δακτυλ?ου ε?ναι πρ?το αν Q ε?ναι γν?σιο και ?ποτε xy ∈ Q, ε?τε x ∈ Q ? yⁿ ∈ Q για κ?ποιο θετικ? ακ?ραιο n. Στο Ζ, τα πρ?τα ιδανικ? ε?ναι ακριβ?? τα ιδανικ? τη? μορφ?? (p,^e), ?που p ε?ναι πρ?το? και e ε?ναι ?να? θετικ?? ακ?ραιο?. ?τσι, μ?α πρωτοβ?θμια παραγοντοπο?ηση (n) αντιστοιχε? σε αντιπρ?σωπο (n) ω? την τομ? πολλ?ν πεπερασμ?νων πρ?των ιδανικ?ν.

Το θε?ρημα Lasker-Noether , που δ?νεται εδ?, μπορε? να θεωρηθε? ω? μ?α συγκεκριμ?νη γεν?κευση του θεμελι?δου? θεωρ?ματο? τη? αριθμητικ??:

Lasker-Noether Θε?ρημα. ?στω R ε?ναι ?να? αντιμεταθετικ?? Noether δακτ?λιο? και ?στω Ι ?να ιδε?δε? του R. Στη συν?χεια, θα μπορε? να γραφτε? ω? το σημε?ο τομ?? πολλ?ν πεπερασμ?νων πρ?των ιδανικ?ν με διακριτ?? ρ?ζε?, δηλαδ?:

$I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}$

με Qπρ?το για ?λα τα i και Rad(Q_i) ≠ Ρ(Q,_j) για i ≠ j. Επιπλ?ον, ε?ν:

$I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}$

ε?ναι η παραγοντοπο?ηση του i με το Rad(P_i) ≠ Ρ(P_j) για i ≠ j, και οι δ?ο παραγοντοποι?σει? του θα ε?ναι αν?γωγε? (που σημα?νει ?τι δεν υπ?ρχει γν?σιο υποσ?νολο ο?τε {Q₁, ..., Q_t} ο?τε {Σ₁, ..., P_k} που να αποδ?δει μια τομ? ?ση με I), t = k και (ενδεχομ?νω?, μετ? απ? ν?α αρ?θμηση του Q _' ) Rad(Q_i) = Rad(P_i) για ?λα i.

Για την πρωτοβ?θμια παραγοντοπο?ηση του i, το σ?νολο ?λων των ριζ?ν, δηλαδ? το σ?νολο {Rad(Q₁), ..., Rad(Q,_t)} παραμ?νει το ?διο με αυτ? του Lasker–Noether θεωρ?ματο?. Στην πραγματικ?τητα, αποδεικν?εται ?τι (για ?ναν Noether δακτ?λιο) το σ?νολο ε?ναι ακριβ?? η προσ?ρτηση τη? εν?τητα? R/I, δηλαδ? το σ?νολο ?λων των εκμηδενιστ?ν του R/I (θεωρε?ται ω? μια μον?δα π?νω απ? το R) που ε?ναι πρ?το?.

Τοπολογ?α

Η τοπολογ?α ε?ναι ?να? επ?σημο? τρ?πο? για να εισ?γουμε του? "παρονομαστ??" σε ?ναν συγκεκριμ?νο δακτ?λιο ? μια εν?τητα. Δηλαδ?, εισ?γει ?ναν ν?ο δακτ?λιο/εν?τητα απ? ?να υπ?ρχον ?τσι ?στε να αποτελε?ται απ? κλ?σματα

${\frac {m}{s}}$.

?που οι παρονομαστ?? s ορ?ζονται σε ?να δεδομ?νο υποσ?νολο S του R. Το αρχετυπικ? παρ?δειγμα ε?ναι η κατασκευ? του δακτυλ?ου Q των ρητ?ν αριθμ?ν απ? το δακτ?λιο Z των ακερα?ων.

Ολοκλ?ρωση

Μια ολοκλ?ρωση ε?ναι οποιοδ?ποτε απ? τα δι?φορα που σχετ?ζονται με το συναρτ?σει? σε δακτ?λιου? και τι? εν?τητε? που ?χουν ω? αποτ?λεσμα την ολοκλ?ρωση των τοπολογικ?ν δακτυλ?ων και modules. Η ολοκλ?ρωση ε?ναι παρ?μοια με την τοπολογ?α, και μαζ? ε?ναι ?να απ? τα πιο βασικ? εργαλε?α για την αν?λυση των αντιμεταθετικ?ν δακτ?λιων. Οι ολοκληρωμ?νοι αντιμεταθετικο? δακτ?λιοι ?χουν απλο?στερη δομ? απ? του? γενικο?? και απ? αυτο?? που υπ?ρχουν στο λ?μμα του Hensel.

Zariski τοπολογ?α σε πρ?τα ιδανικ?

Η Zariski τοπολογ?α καθορ?ζει την τοπολογ?α του φ?σματο? εν?? δακτυλ?ου(το σ?νολο των πρ?των ιδανικ?ν). Σε αυτ?ν τον τ?πο, τα Zariski-κλειστ? σ?νολα λαμβ?νονται για να ε?ναι τα σ?νολα

$V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}$

?που Α ε?ναι ?να? σταθερ?? αντιμεταθετικ?? δακτ?λιο? και I ε?ναι ?να ιδανικ?. Αυτ? ορ?ζονται κατ? αναλογ?α με την κλασικ? Zariski τοπολογ?α, ?που κλειστ? σ?νολα σε αφφινικ? χ?ρο ε?ναι εκε?να που ορ?ζονται απ? πολυωνυμικ?? εξισ?σει? . Για να δε?τε την σ?νδεση με την κλασικ? εικ?να, σημει?στε ?τι για κ?θε σ?νολο S των πολυων?μων (π?νω απ? ?να αλγεβρικ? κλειστ? πεδ?ο), ?πω? προκ?πτει απ? το Nullstellensatz του Hilbert ?τι τα σημε?α Β(S) (με την παλι? ?ννοια) ε?ναι ακριβ?? oι πλει?δε?(a₁, ..., a_n) τ?τοιε? ?στε (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n) να περι?χουν το S, επιπλ?ον, αυτ? ε?ναι μ?γισταl ιδε?δη και απ? το "ασθεν??" Nullstellensatz, ?να ιδανικ? για οποιονδ?ποτε αφφινικ? συντονισμ?νο δακτ?λιο ε?ναι μ?γιστο αν και μ?νο αν ε?ναι αυτ?? τη? μορφ??. Συνεπ??, V(S) ε?ναι "το ?διο" ?πω? τα μ?γιστα ιδε?δη που περι?χουν το S. Η καινοτομ?α του Grothendieck στον καθορισμ? του Spec ?ταν ?τι αντικατ?στησε τα μ?γιστα ιδανικ? με ?λα τα πρ?τα ιδανικ? σε αυτ?ν τον τ?πο ε?ναι φυσικ? απλ? να γενικε?σουμε αυτ? την παρατ?ρηση για τον ορισμ? του κλειστο? συν?λου του φ?σματο? εν?? δακτυλ?ου.

Παραδε?γματα

Το θεμελι?δε? παρ?δειγμα στην αντιμεταθετικ? ?λγεβρα ε?ναι ο δακτ?λιο? των ακερα?ων $\mathbb {Z}$. Η ?παρξη των πρ?των και το μοναδικ? θε?ρημα τη? παραγοντοπο?ηση? ?θεσε τα θεμ?λια για ?ννοιε? ?πω? οι Noether δακτ?λιοι και η πρωτοβ?θμια παραγοντοπο?ηση.

?λλα σημαντικ? παραδε?γματα ε?ναι:

• Πολυωνυμικο? δακτ?λιοι $R[x_{1},...,x_{n}]$
• Το p-αδικο? ακ?ραιοι
• Οι δακτ?λιοι των αλγεβρικ?ν ακερα?ων.

Συνδ?σει? με την αλγεβρικ? γεωμετρ?α

Η αντιμεταθετικ? ?λγεβρα (με τη μορφ? πολυωνυμικ?ν δακτυλ?ων και των συντελεστ?ν του?, που χρησιμοποιο?νται στον ορισμ? των αλγεβρικ?ν πολλαπλοτ?των) ?ταν π?ντα ?να μ?ρο? τη? αλγεβρικ?? γεωμετρ?α?. Ωστ?σο, στα τ?λη τη? δεκαετ?α? του 1950, οι αλγεβρικ?? πολλαπλ?τητε? ?ταν ενταγμ?νε? στην ?ννοια του συστ?ματο? του Alexander Grothendieck. Τα τοπικ? αντικε?μενα ε?ναι αφφινικ? συστ?ματα ? φ?σματα τα οπο?α ε?ναι τοπικο? δακτ?λιοι χ?ροι που αποτελο?ν μια κατηγορ?α, η οπο?α ε?ναι μη ισοδ?ναμη (δυαδικ?) για την κατηγορ?α των αντιμεταθετικ?ν μοναδια?ων δακτυλ?ων, για την επ?κταση τη? δυαδικ?τητα? μεταξ? τη? κατηγορ?α? των αφφινικ?ν αλγεβρικ?ν πολλαπλοτ?των π?νω απ? ?να πεδ?ο k, και την κατηγορ?α των πεπερασμ?νων παραγ?μενων μειωμ?νων k-αλγεβρ?ν. Η σ?νδεση βρ?σκεται στην Zariski τοπολογ?α, ?που κ?ποιο? μπορε? να την ενσωματ?σει στην κατηγορ?α των τοπικ?ν δακτυλιακ?ν χ?ρων, αλλ? επ?ση? η χρ?ση τη? Yoneda ενσωμ?τωση?, κατ? την πιο αφηρημ?νη κατηγορ?α αλυσ?δων των συν?λων π?νω απ? την κατηγορ?α των αφφινικ?ν συστημ?των. Η Zariski τοπολογ?α ω? θεωρητικ? ?ννοια, στη συν?χεια αντικαταστ?θηκε απ? την Zariski τοπολογ?α, με την ?ννοια τη? τοπολογ?α? Grothendieck. Ο Grothendieck εισ?γαγε τι? Grothendieck τοπολογ?ε? ?χοντα? κατ? νου πιο εξωτικ?, αλλ? γεωμετρικ? λεπτ?τερα και πιο ευα?σθητα παραδε?γματα απ? την ακατ?ργαστη Zariski τοπολογ?α, δηλαδ? την étale τοπολογ?α, και τι? δ?ο επ?πεδε? Grothendieck τοπολογ?ε?: fppf και fpqc, σ?μερα κ?ποια ?λλα παραδε?γματα δι?πρεψαν συμπεριλαμβανομ?νων τη? Nisnevich τοπολογ?α?. Οι αλυσ?δε? μπορε? να ε?ναι επιπλ?ον γενικευμ?νε? σε στο?βε? κατ? την ?ννοια του Grothendieck, συν?θω? με κ?ποιε? επιπλ?ον αντιπροσωπευτικ?? συνθ?κε? που οδηγο?ν σε Artin στο?βε? και, ακ?μα πιο συγκεκριμ?να, σε Deligne-Mumford στο?βε?, και οι δ?ο συχν? ονομ?ζονται αλγεβρικ?? στο?βε?.

Δε?τε επ?ση?

• Λ?στα θεμ?των αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα?
• Γλωσσ?ριο αντιμεταθετικ?? ?λγεβρα?
• Συνδυαστικ? αντιμεταθετικ? ?λγεβρα
• Β?ση Grobner
• Ομολογικ? ?λγεβρα

Βιβλιογραφ?α

• Michael Atiyah & Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas, éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
• Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
• Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

Εξωτερικο? σ?νδεσμοι

• Πολυμ?σα σχετικ? με το θ?μα Commutative algebra στο Wikimedia Commons