肚子胀气吃什么好

Μια σελ?δα απ? το Al-Khwārizmī's al-Kitāb al-mu?ta?ar fī ?isāb al-?abr wa-l-muqābala

百度 咳嗽可以吃什么

Η ?λγεβρα (απ? το αραβικ? "al-jabr" που σημα?νει "επαν?νωση των σπασμ?νων μερ?ν") ε?ναι ?να απ? τα μεγ?λα τμ?ματα των μαθηματικ?ν, μαζ? με τη θεωρ?α αριθμ?ν, τη γεωμετρ?α και την αν?λυση. Στην πιο γενικ? τη? μορφ?, η ?λγεβρα ε?ναι η μελ?τη των μαθηματικ?ν συμβ?λων και των καν?νων για το χειρισμ? αυτ?ν των συμβ?λων. Διασυνδ?ει σχεδ?ν ?λου? του? τομε?? των μαθηματικ?ν. Ω? εκ το?του, περιλαμβ?νει τα π?ντα, απ? την επ?λυση τη? στοιχει?δου? εξ?σωση? μ?χρι και τη μελ?τη των αφηρημ?νων εννοι?ν ?πω? ομ?δε?, δακτυλ?ου?, και πεδ?α. Τα πιο βασικ? μ?ρη τη? ?λγεβρα? ονομ?ζονται στοιχει?δη? ?λγεβρα, τα πιο αφηρημ?να μ?ρη καλο?νται αφηρημ?νη ?λγεβρα ? σ?γχρονη ?λγεβρα. Η στοιχει?δη? ?λγεβρα θεωρε?ται γενικ? ?τι ε?ναι απαρα?τητη για τη μελ?τη των μαθηματικ?ν, τη? φυσικ??, ? τη? μηχανικ??, καθ?? και εφαρμογ?ν ?πω? η ιατρικ? και η οικονομ?α. Η αφηρημ?νη ?λγεβρα ε?ναι μια μεγ?λη περιοχ? στα προχωρημ?να μαθηματικ?, ?χει μελετηθε? κυρ?ω? απ? επαγγελματ?ε? μαθηματικο??. Πολ? πρ?ιμο ?ργο στην ?λγεβρα, ?πω? η αραβικ? προ?λευση τη? που υποδηλ?νει το ?νομ? τη?, ?γινε στη Μ?ση Ανατολ?, απ? μαθηματικο?? ?πω? al-Khwārizmī (780 – 850) και Ομ?ρ Καγι?μ (1048-1131). Η στοιχει?δη? ?λγεβρα διαφ?ρει απ? την αριθμητικ? στη χρ?ση αφηρημ?νων εννοι?ν, ?πω? η χρ?ση γραμμ?των που αντιπροσωπε?ουν αριθμο?? που ε?ναι ε?τε ?γνωστοι ? επιτρ?πεται να π?ρουν πολλ?? τιμ??. Για παρ?δειγμα, στην $x+2=5$ το γρ?μμα $x$ ε?ναι ?γνωστο, αλλ? ο ν?μο? των αντ?στροφων μπορε? να χρησιμοποιηθε? για να ανακαλ?ψουμε την τιμ? του: $x=3$. Στην E = mc^2<, τα γρ?μματα $E$ και $m$ ε?ναι μεταβλητ??, και το γρ?μμα $c$ ε?ναι μια σταθερ?, η ταχ?τητα του φωτ?? στο κεν?. Η ?λγεβρα δ?νει μεθ?δου? για την επ?λυση εξισ?σεων και εκφρ?ζει τ?που? που ε?ναι πολ? πιο ε?χρηστοι απ? την παλαι?τερη μ?θοδο γραφ?? των π?ντων με λ?ξει?.

Η λ?ξη ?λγεβρα χρησιμοποιε?ται επ?ση? με ορισμ?νου? εξειδικευμ?νου? τρ?που?. ?να ιδια?τερο ε?δο? μαθηματικο? αντικειμ?νου στην αφηρημ?νη ?λγεβρα ονομ?ζεται "?λγεβρα", και η λ?ξη χρησιμοποιε?ται, για παρ?δειγμα, στι? φρ?σει? γραμμικ? ?λγεβρα και αλγεβρικ? τοπολογ?α.

Ο μαθηματικ?? που κ?νει ?ρευνα στην ?λγεβρα ονομ?ζεται αλγεβριστ??.

Ετυμολογ?α

Η λ?ξη ?λγεβρα προ?ρχεται απ? την αραβικ? ????? (al-jabr "αποκατ?σταση") απ? τον τ?τλο του βιβλ?ου Ilm al-jabr wa αδυναμ?α l-mu?ābala απ? τον al-Khwarizmi. Η λ?ξη εισ?λθε στην αγγλικ? γλ?σσα κατ? τη δι?ρκεια του δ?κατου π?μπτου αι?να, ε?τε απ? τα ισπανικ?, τα ιταλικ?, ? τη μεσαιωνικ? λατινικ?. Αρχικ? αναφ?ρεται στη χειρουργικ? διαδικασ?α τη? ρ?θμιση? των σπασμ?νων ? εξαρθρωμ?νων οστ?ν. Η μαθηματικ? ?ννοια καταγρ?φηκε για πρ?τη φορ? τον δ?κατο ?κτο αι?να.

Διαφορετικ?? ?ννοιε? τη? "?λγεβρα?"

Η λ?ξη "?λγεβρα" ?χει πολλ?? σχετικ?? ?ννοιε? στα μαθηματικ?, ω? μ?α μ?νο λ?ξη ? με προσδιοριστικ?.

• Ω? μια λ?ξη χωρ?? το ?ρθρο, η "?λγεβρα" ονοματ?ζει ?να ευρ? τμ?μα των μαθηματικ?ν.
• Ω? μ?α λ?ξη με το ?ρθρο ? στον πληθυντικ?, η "?λγεβρα", δηλ?νει μια συγκεκριμ?νη μαθηματικ? δομ?, τη? οπο?α? ο ακριβ?? ορισμ?? εξαρτ?ται απ? τον συγγραφ?α. Συν?θω? η δομ? ?χει μια προσθ?κη, πολλαπλασιασμ? και ?να κλιμακωτ? πολλαπλασιασμ? (βλ ?λγεβρα π?νω απ? το πεδ?ο). ?ταν μερικο? συγγραφε?? χρησιμοποιο?ν τον ?ρο "?λγεβρα", κ?νουν ?να υποσ?νολο απ? τι? ακ?λουθε? επιπλ?ον παραδοχ??: προσεταιριστικ?, αντιμεταθετικ?, ταυτοτικ?, και/? πεπερασμ?νων διαστ?σεων. Στην καθολικ? ?λγεβρα, η λ?ξη "?λγεβρα" αναφ?ρεται σε μια γεν?κευση τη? παραπ?νω ?ννοια?, η οπο?α επιτρ?πει τι? n-ary πρ?ξει?.
• Με ?να προσδιοριστικ?, υπ?ρχει η ?δια δι?κριση:
  • Χωρ?? το ?ρθρο, αυτ? σημα?νει ?τι ?να μ?ρο? τη? ?λγεβρα?, ?πω? η γραμμικ? ?λγεβρα, η στοιχει?δη? ?λγεβρα (καν?νε? που διδ?σκονται στα "στοιχει?δη μαθ?ματα των μαθηματικ?ν" σαν μ?ρο? τη? πρωτοβ?θμια? και δευτεροβ?θμια? εκπα?δευση?), ? η αφηρημ?νη ?λγεβρα (η μελ?τη των αλγεβρικ?ν δομ?ν για τον εαυτ? του?).
  • Με ?να ?ρθρο, αυτ? σημα?νει την παρουσ?α κ?ποιων αφηρημ?νων δομ?ν, ?πω? η ?λγεβρα Lie, η προσεταιριστικ? ?λγεβρα, ? η ?λγεβρα με διανυσματικ? φορ?α.
  • Μερικ?? φορ?? και τα δ?ο νο?ματα υπ?ρχουν για το ?διο προσδιοριστικ?, ?πω? στην πρ?ταση: Η Αντιμεταθετικ? ?λγεβρα ε?ναι η μελ?τη τωναντιμεταθετικ?ν δακτ?λιων, οι οπο?οι ε?ναι αντιμεταθετικ?? ?λγεβρε? π?νω απ? του? ακ?ραιου?.

Η ?λγεβρα ω? κλ?δο? των μαθηματικ?ν

Η ?λγεβρα ξεκ?νησε με υπολογισμο?? παρ?μοιου? με αυτο?? τη? αριθμητικ??, με γρ?μματα αντ? για του? αριθμο??. Αυτ? επ?τρεψε να αποδειχθο?ν ιδι?τητε? που ε?ναι αληθε?? ανεξ?ρτητα απ? του? αριθμο?? που εμπλ?κονται. Για παρ?δειγμα, στη δευτεροβ?θμια εξ?σωση

$ax^{2}+bx+c=0,$

τα $a,b,c$ μπορε? να ε?ναι οποιοιδ?ποτε αριθμο? (εκτ?? απ? $\alpha =0$, γιατ? τ?τε η εξ?σωση θα ?ταν πρωτοβ?θμια), και ο τετραγωνικ?? τ?πο? μπορε? να χρησιμοποιηθε? για να βρο?με γρ?γορα και ε?κολα την τιμ? τη? ?γνωστη? ποσ?τητα? $x$.

Καθ?? αναπτ?σσονταν, η ?λγεβρα επεκτ?θηκε και σε ?λλα μη-αριθμητικ? αντικε?μενα, ?πω? τα διαν?σματα, οι π?νακε?, και τα πολυ?νυμα. Στη συν?χεια, οι δομικ?? ιδι?τητε? αυτ?ν των μη-αριθμητικ?ν αντικειμ?νων αφαιρ?θηκαν για να οριστο?ν αλγεβρικ?? δομ?? ?πω? οι ομ?δε?, οι δακτ?λιοι και τα πεδ?α.

Πριν απ? τον 16ο αι?να, τα μαθηματικ?, χωρ?ζονταν σε δ?ο μ?νο υποπεδ?α, την αριθμητικ? και τη γεωμετρ?α. Παρ?λο που ορισμ?νε? απ? τι? μεθ?δου?, οι οπο?ε? ε?χαν αναπτυχθε? πολ? νωρ?τερα, μπορο?ν να θεωρηθο?ν στι? μ?ρε? μα?, ω? ?λγεβρα, η εμφ?νιση τη? ?λγεβρα? και, αμ?σω? μετ?, του απειροστικο? λογισμο?, ω? υποπεδ?α των μαθηματικ?ν χρονολογε?ται απ? τον 16ο ? τον 17ο αι?να. Απ? το δε?τερο μισ? του 19ου αι?να, πολλ? ν?α πεδ?α των μαθηματικ?ν εμφαν?στηκαν, τα περισσ?τερα απ? αυτ? ?καναν χρ?ση και τη? αριθμητικ?? και τη? γεωμετρ?α?, και σχεδ?ν ?λων εκε?νων που χρησιμοποιο?νται στην ?λγεβρα.

Σ?μερα, η ?λγεβρα ?χει αυξηθε? τ?σο ?στε να περιλαμβ?νει πολλο?? κλ?δου? των μαθηματικ?ν, ?πω? μπορε? να δει κανε?? στο Μαθηματικ? Θ?μα Ταξιν?μηση? ?που κανε?? απ? το πρ?το επ?πεδο περιοχ?ν (διψ?φιε? καταχωρ?σει?) δεν ονομ?ζεται ?λγεβρα. Σ?μερα η ?λγεβρα περιλαμβ?νει την εν?τητα 08-Γενικ? αλγεβρικ? συστ?ματα, 12-θεωρ?α Πεδ?ου και πολυ?νυμα, 13-Αντιμεταθετικ? ?λγεβρα, 15-Γραμμικ? και πολυγραμμικ? ?λγεβρα *τη θεωρ?α πιν?κων, 16-Προσαιτεριστικο? δακτ?λιοι και ?λγεβρε?, 17-Μη-προσαιτεριστικο? δακτ?λιοι και ?λγεβρε?, 18-Θεωρ?α κατηγορι?ν: ομολογικ??λγεβρα, 19-Κ-θεωρ?α και 20-θεωρ?α ομ?δων. Η ?λγεβρα, επ?ση?, χρησιμοποιε?ται ευρ?ω? στη 11-θεωρ?α αριθμ?ν και στην 14-Αλγεβρικ? γεωμετρ?α.

Ιστορ?α

Πρ?ιμη ιστορ?α τη? ?λγεβρα?

Οι ρ?ζε? τη? ?λγεβρα?, μπορο?ν να εντοπιστο?ν στου? αρχα?ου? Βαβυλ?νιου?, οι οπο?οι αν?πτυξαν ?να προηγμ?νο αριθμητικ? σ?στημα με το οπο?ο ?ταν σε θ?ση να κ?νουν υπολογισμο?? με ?να αλγοριθμικ? τρ?πο. Οι Βαβυλ?νιοι αν?πτυξαν τ?που? για να υπολογ?ζουν τι? λ?σει? για τα προβλ?ματα που συν?θω? λ?νονται σ?μερα με τη χρ?ση γραμμικ?ν εξισ?σεων, τετραγωνικ?ν εξισ?σεων, και απροσδι?ριστων γραμμικ?ν εξισ?σεων. Αντ?θετα, οι περισσ?τεροι Αιγ?πτιοι τη? εποχ?? αυτ??, καθ?? και ?λληνε? και Κιν?ζοι μαθηματικο? στην 1η χιλιετ?α Π. χ., συν?θω? ?λυναν τ?τοιε? εξισ?σει? με γεωμετρικ?? μεθ?δου?, ?πω? αυτ?? που περιγρ?φονται στο Rhind Μαθηματικ? Π?πυρο, στα στοιχε?α του Ευκλε?δη, και Τα Ενν?α Κεφ?λαια σχετικ? με τη Μαθηματικ? Τ?χνη. Το γεωμετρικ? ?ργο των Ελλ?νων, που χαρακτηρ?ζεται απ? Στοιχε?α, παρε?χε το πλα?σιο για γεν?κευση τ?πων π?ρα απ? τη λ?ση των συγκεκριμ?νων προβλημ?των σε γενικ?τερα συστ?ματα διατ?πωση? και επ?λυση? εξισ?σεων, αν και αυτ? δεν ε?χε παρατηρηθε? μ?χρι τα μαθηματικ? να αναπτυχθο?ν στο μεσαιωνικ? Ισλ?μ.

Απ? την εποχ? του Πλ?τωνα, οι ?λληνε? μαθηματικο? ε?χαν υποστε? μια δραστικ? αλλαγ?. Οι ?λληνε? δημιο?ργησαν μια γεωμετρικ? ?λγεβρα που οι ?ροι τη? εκπροσωπο?νταν απ? τι? πλευρ?? των γεωμετρικ?ν αντικειμ?νων, συν?θω? γραμμ??, που ε?χαν γρ?μματα που συνδ?ονταν με αυτο??. Ο Δι?φαντο? (3ο αι?να μ. χ.) ?ταν ?να? Αλεξανδριν?? ?λληνα? μαθηματικ?? και συγγραφ?α? μια? σειρ?? βιβλ?ων με τον τ?τλο Arithmetica. Αυτ? τα κε?μενα ε?χαν ω? αντικε?μενο την επ?λυση αλγεβρικ?ν εξισ?σεων, και οδ?γησαν, απ? τη θεωρ?α αριθμ?ν στη σ?γχρονη ?ννοια τη? Διοφαντικ?? εξ?σωση?.

Παλαι?τερε? παραδ?σει? που συζητ?θηκαν παραπ?νω ε?χαν ?μεση επ?δραση στον Π?ρση Mu?ammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (γ. 780-850). Ο ?διο? ?γραψε αργ?τερα, Το Συνοπτικ? Βιβλ?ο για Υπολογισμ? με Ολοκλ?ρωση και Εξισορρ?πηση, το οπο?ο καθι?ρωσε την ?λγεβρα ω? μαθηματικ? δομ? που ε?ναι ανεξ?ρτητη απ? τη γεωμετρ?α και την αριθμητικ?.

Οι Ελληνιστικο? μαθηματικο? ?ρων τη? Αλεξ?νδρεια? και Δι?φαντο?, καθ?? και Ινδο? μαθηματικο? ?πω? ο Brahmagupta συν?χισαν τι? παραδ?σει? τη? Αιγ?πτου και τη? Βαβυλ?να?, αν και η Arithmetica του Δι?φαντου και το Brahmasphutasiddhanta του Brahmagupta ε?ναι σε ?να υψηλ?τερο επ?πεδο. Για παρ?δειγμα, η πρ?τη ολοκληρωμ?νη αριθμητικ? λ?ση (συμπεριλαμβανομ?νη? τη? μηδενικ?? και των αρνητικ?ν λ?σεων) για δευτεροβ?θμιε? εξισ?σει? περιγρ?φεται απ? τον Brahmagupta στο βιβλ?ο του Brahmasphutasiddhanta. Αργ?τερα, Π?ρσοι και ?ραβε? μαθηματικο? αν?πτυξαν αλγεβρικ?? μεθ?δου? σε πολ? μεγαλ?τερο βαθμ? πολυπλοκ?τητα?. Αν και ο Δι?φαντο? και οι Βαβυλ?νιοι χρησιμοποιο?σαν ω? επ? το πλε?στον ειδικ?? ad hoc μεθ?δου? για την επ?λυση εξισ?σεων, η συμβολ? του Al-Khwarizmi ?ταν καθοριστικ?. ?λυσε γραμμικ?? και τετραγωνικ?? εξισ?σει?, χωρ?? αλγεβρικ? συμβολισμ?, του? αρνητικο?? αριθμο?? ? το μηδ?ν, ?τσι ?πρεπε να διακρ?νει δι?φορα ε?δη εξισ?σεων.

Στο πλα?σιο που η ?λγεβρα ταυτ?ζεται με τη θεωρ?α των εξισ?σεων, ο ?λληνα? μαθηματικ?? Δι?φαντο? ?ταν αν?καθεν γνωστ?? ω? ο "πατ?ρα? τη? ?λγεβρα?", αλλ? τα τελευτα?α χρ?νια υπ?ρχει μεγ?λη συζ?τηση για το αν ο al-Khwarizmi, ο οπο?ο? ?δρυσε την πειθαρχ?α τη? al-jabr, αξ?ζει τον τ?τλο αυτ?. Εκε?νοι που υποστηρ?ζουν τον Δι?φαντο επικεντρ?νονται στο γεγον?? ?τι η ?λγεβρα που βρ?θηκε στην Al-Jabr ε?ναι ελαφρ?? πιο στοιχει?δη? απ? την ?λγεβρα που βρ?θηκε στο Arithmetica και οτι το Arithmetica συνκ?πτεται, εν? η Al-Jabr ε?ναι πλ?ρω? ρητορικ?. Εκε?νοι που υποστηρ?ζουν τον Al-Khwarizmi επικεντρ?νονται στο γεγον?? ?τι εισ?γαγε τι? μεθ?δου? τη? "με?ωση?" και "εξισορρ?πηση?" (η μεταφορ? των αφηρημ?νων ?ρων στην ?λλη πλευρ? τη? εξ?σωση?, που ε?ναι η ακ?ρωση των ?ρων like στι? αντ?θετε? πλευρ?? τη? εξ?σωση?), που ο ?ρο? al-jabr αρχικ? αναφ?ρεται, και ?τι ?δωσε μια λεπτομερ? εξ?γηση για την επ?λυση δευτεροβ?θμιων εξισ?σεων, που υποστηρ?ζονται απ? γεωμετρικ?? αποδε?ξει?, εν? αναδεικν?ει την ?λγεβρα ω? ανεξ?ρτητη. Η ?λγεβρα του, επ?ση?, δεν αφορ? πλ?ον " μια σειρ? απ? προβλ?ματα που πρ?πει να επιλυθο?ν, αλλ? μια ?κθεση η οπο?α ξεκιν? με την πρωτ?γονη ?ποψη στην οπο?α οι συνδυασμο? πρ?πει να δ?σουν ?λα τα πιθαν? πρωτ?τυπα για τι? εξισ?σει?, τα οπο?α στο εξ?? ρητ? αποτελο?ν το πραγματικ? αντικε?μενο τη? μελ?τη?". Δημιο?ργησε επ?ση? μια εξ?σωση για του? δικο?? του λ?γου? και "σε ?να γενικ? τρ?πο, εφ?σον δεν προκ?ψουν κατ? τη δι?ρκεια τη? επ?λυση? εν?? προβλ?ματο?, αλλ? ε?ναι συγκεκριμ?νο να ορ?σετε μια ?πειρη κλ?ση των προβλημ?των".

?να? ?λλο? Π?ρση? μαθηματικ?? ο Ομ?ρ Καγι?μ ασχολ?θηκε με τον προσδιορισμ? των θεμελ?ων τη? αλγεβρικ?? γεωμετρ?α? και με την ε?ρεση τη? γενικ?? γεωμετρικ?? λ?ση? τη? κυβικ?? εξ?σωση?. Ακ?μα ?να? Π?ρση? μαθηματικ??, ο Sharaf al-Dīn al-Tūsī, βρ?κε αλγεβρικ?? και αριθμητικ?? λ?σει? για δι?φορε? περιπτ?σει? των κυβικ?ν εξισ?σεων. Επ?ση? αν?πτυξε την ?ννοια τη? συν?ρτηση?. Οι Ινδο? μαθηματικο? Μαχαβ?ρα και Bhaskara II, ο Π?ρση? μαθηματικ?? Al-Karaji, και ο Κιν?ζο? μαθηματικ?? Zhu Shijie, ?λυσαν δι?φορε? περιπτ?σει? κυβικ?ν, τεταρτοβ?θμιων, πεμπτοβ?θμιων και αν?τερη? τ?ξη? πολυωνυμικ?ν εξισ?σεων με αριθμητικ?? μεθ?δου?. Τον 13ο αι?να, η λ?ση μια? κυβικ?? εξ?σωση? απ? τον Fibonacci ε?ναι αντιπροσωπευτικ? για την αρχ? τη? αν?καμψη? στην Ευρωπα?κ? ?λγεβρα. ?πω? ο Ισλαμικ?? κ?σμο? ?ταν σε παρακμ?, ο Ευρωπα?κ?? κ?σμο? ?ταν σε ακμ?. Και εδ? ε?ναι που η ?λγεβρα αναπτ?χθηκε περαιτ?ρω.

Ιστορ?α τη? ?λγεβρα?

Οι εργασ?ε? του Fran?ois Viète σχετικ? με τη ν?α ?λγεβρα στο τ?λο? του 16ου αι?να ?ταν ?να σημαντικ? β?μα προ? τη σ?γχρονη ?λγεβρα. Το 1637, ο René Descartes δημοσ?ευσε το La Géométrie, εφη?ρε την αναλυτικ? γεωμετρ?α και εισ?γαγε τη σ?γχρονη αλγεβρικ? σημειογραφ?α. ?να ?λλο σημαντικ? γεγον?? για την περαιτ?ρω αν?πτυξη τη? ?λγεβρα? ?ταν η γενικ? αλγεβρικ? λ?ση των κυβικ?ν και τεταρτοβ?θμιων εξισ?σεων, που αναπτ?χθηκε στα μ?σα του 16ου αι?να. Η ιδ?α μια? Ορ?ζουσα? αναπτ?χθηκε απ? τη Ιαπων?δα μαθηματικ? Seki Kowa τον 17ο αι?να, που ακολουθ?θηκε ανεξ?ρτητα απ? τον Γκ?τφριντ Λ?ιμπνιτ? δ?κα χρ?νια αργ?τερα, με σκοπ? την επ?λυση συστημ?των ταυτ?χρονων γραμμικ?ν εξισ?σεων χρησιμοποι?ντα? μ?τρε?. Ο Gabriel Cramer επ?ση? δο?λεψε σε π?νακε? και ορ?ζουσε? τον 18ο αι?να. Οι διατ?ξει? μελετ?θηκαν απ? τον Joseph-Louis Lagrange στο ?γγραφο του με τι? 1770 σελ?δε? Réflexions sur la résolution algébrique des équations αφιερωμ?νο στι? λ?σει? αλγεβρικ?ν εξισ?σεων, στο οπο?ο εισ?γαγε τη Lagrange resolvents. Ο Paolo Ruffini ?ταν το πρ?το πρ?σωπο που αν?πτυξε τη θεωρ?α για τη μετ?θεση ομ?δων, και ?πω? και οι προκ?τοχο? του, επ?ση?, στο πλα?σιο τη? επ?λυση? αλγεβρικ?ν εξισ?σεων.

Η Αφηρημ?νη ?λγεβρα αναπτ?χθηκε τον 19ο αι?να, απορρ?ει απ? το ενδιαφ?ρον για την επ?λυση εξισ?σεων, αρχικ? εστ?αζε σε αυτ? που τ?ρα ονομ?ζεται Θεωρ?α Γκαλου?, και σε κατασκευαστικ? θ?ματα. Ο George Peacock ?ταν ο ιδρυτ?? τη? αξιωματικ?? σκ?ψη? στην αριθμητικ? και την ?λγεβρα. Ο Augustus De Morgan ανακ?λυψε τη σχετικ? ?λγεβρα στο ?ργο του εξεταστ?α ?λη του Προτειν?μενου Συστ?ματο? τη? Λογικ??. Ο τζοσ?ια Γου?λαρντ Γκιμπ? αν?πτυξε μια ?λγεβρα διανυσμ?των στον τρισδι?στατο χ?ρο, και ο Arthur Cayley αν?πτυξε μια ?λγεβρα πιν?κων (αυτ? ε?ναι μ?α μη μεταθετικ? ?λγεβρα).

Τομε?? των μαθηματικ?ν με τη λ?ξη ?λγεβρα στο ?νομ? του?

Ορισμ?νοι τομε?? των μαθηματικ?ν που εμπ?πτουν στην κατηγορ?α τη? αφηρημ?νη? ?λγεβρα? ?χουν τη λ?ξη ?λγεβρα στο ?νομ? του? (η γραμμικ? ?λγεβρα ε?ναι ?να παρ?δειγμα). ?λλοι ?μω? ?χι, ?πω?: η θεωρ?α ομ?δων, η θεωρ?α δακτυλ?ων, και η θεωρ?α πεδ?ων ε?ναι παραδε?γματα. Σε αυτ? την εν?τητα, παραθ?τουμε ορισμ?να πεδ?α των μαθηματικ?ν με τη λ?ξη "?λγεβρα" στο ?νομ? του?.

• Στοιχει?δη? ?λγεβρα, ?λγεβρα που συν?θω? διδ?σκεται στα στοιχει?δη μαθ?ματα των μαθηματικ?ν.
• Αφηρημ?νη ?λγεβρα, στην οπο?α οι αλγεβρικ?? δομ?? ?πω? οι ομ?δε?, οι δακτ?λιοι και τα πεδ?α ε?ναι αξιωματικ? ορισμ?να και διερευνημ?να.
• Γραμμικ? ?λγεβρα, στην οπο?α οι ειδικ?? ιδι?τητε? των γραμμικ?ν εξισ?σεων, των διανυσματικ?ν χ?ρων και των πιν?κων ?χουν μελετηθε?.
• Αντιμεταθετικ? ?λγεβρα, η μελ?τη των αντιμεταθετικ?ν δακτυλ?ων.
• Υπολογιστικ? ?λγεβρα, η εφαρμογ? αλγεβρικ?ν μεθ?δων, ?πω? οι αλγ?ριθμοι και τα προγρ?μματα ηλεκτρονικ?ν υπολογιστ?ν.
• Ομολογικ? ?λγεβρα, η μελ?τη των αλγεβρικ?ν δομ?ν που ?χουν θεμελι?δη σημασ?α για τη μελ?τη τοπολογικ?ν χ?ρων.
• Καθολικ? ?λγεβρα, στην οπο?α μελετ?νται χαρακτηριστικ? που ε?ναι κοιν? σε ?λε? τι? αλγεβρικ?? δομ??.
• Αλγεβρικ? θεωρ?α αριθμ?ν, στην οπο?α οι ιδι?τητε? των αριθμ?ν μελετ?νται απ? αλγεβρικ? ?ποψη.
• Αλγεβρικ? γεωμετρ?α, ?να πεδ?ο τη? γεωμετρ?α?, στην πρωτ?γονη μορφ? τη? προσδιορ?ζοντα? τι? καμπ?λε? και τι? επιφ?νειε?, ?πω? ε?ναι οι λ?σει? των πολυωνυμικ?ν εξισ?σεων.
• Συνδυαστικ? ?λγεβρα, στην οπο?α οι αλγεβρικ?? μ?θοδοι χρησιμοποιο?νται για τη μελ?τη συνδυαστικ?ν ερωτ?σεων.

Πολλ?? μαθηματικ?? δομ?? ονομ?ζονται ?λγεβρε?:

• ?λγεβρα π?νω απ? ?να πεδ?ο ? γενικ?τερα ?λγεβρα π?νω απ? ?ναν δακτ?λιο. Πολλ?? κατηγορ?ε? ?λγεβρα? π?νω απ? ?να πεδ?ο ? ?ναν δακτ?λιο ?χουν ?να συγκεκριμ?νο ?νομα:
  • Αντιμεταθετικ? ?λγεβρα
  • Μη-αντιμεταθετικ? ?λγεβρα
  • ?λγεβρα Lie
  • ?λγεβρα Hopf
  • C*-?λγεβρα
  • Συμμετρικ? ?λγεβρα
  • Εξωτερικ? ?λγεβρα
  • Διανυσματικ? ?λγεβρα
• Στη θεωρ?α μ?τρου,
  • Sigma-?λγεβρα
  • ?λγεβρα π?νω απ? ?να σ?νολο
• Στη θεωρ?α κατηγορι?ν
  • F-?λγεβρα και F-coalgebra
  • T-?λγεβρα
• Στη λογικ?,
  • Σχεσιακ? ?λγεβρα: ?να σ?νολο πεπερασμ?νων σχ?σεων που ε?ναι κλειστ? κ?τω απ? ορισμ?νε? πρ?ξει?.
  • ?λγεβρα boole, μια δομ? αφαιρετικο? υπολογισμο? με τι? λογικ?? τιμ?? ψ?μα και αλ?θεια. Οι δομ?? επ?ση? να ?χουν το ?διο ?νομα.
  • ?λγεβρα Heyting

Στοιχει?δη? ?λγεβρα

Σημειογραφ?α αλγεβρικ?? ?κφραση?:   1 – δ?ναμη (εκθ?τη?)   2 – συντελεστ??   3 – ?ρο?   4 – πρ?ξη   5 – σταθερ?? ?ρο?   x y c – μεταβλητ??/σταθερ??

Η Στοιχει?δη? ?λγεβρα ε?ναι η πιο βασικ? μορφ? τη? ?λγεβρα?. Διδ?σκεται σε μαθητ?? που θεωρε?ται ?τι δεν ?χουν γν?ση των μαθηματικ?ν π?ρα απ? τι? βασικ?? αρχ?? τη? αριθμητικ??. Στην αριθμητικ?, περιλαμβ?νονται μ?νο οι αριθμο? και οι αριθμητικ?? πρ?ξει? (?πω? +, ?, ×, ÷). Στην ?λγεβρα, οι αριθμο? συχν? αντιπροσωπε?ονται απ? τα σ?μβολα που ονομ?ζονται μεταβλητ?? (?πω? a, n, x, y ? z). Αυτ? ε?ναι χρ?σιμο, επειδ?:

• Επιτρ?πει τη γενικ? διατ?πωση αριθμητικ?ν ν?μων (?πω? a + b = b + a για ?λα τα a και b) και, επομ?νω?, ε?ναι το πρ?το β?μα για τη συστηματικ? διερε?νηση των ιδιοτ?των των πραγματικ?ν αριθμ?ν του συστ?ματο?.
• Επιτρ?πει την αναφορ? σε "?γνωστου?" αριθμο??, η διατ?πωση των εξισ?σεων και η μελ?τη των λ?σε?ν του?. (Για παρ?δειγμα, "Βρε?τε x τ?τοιο ?στε 3x + 1 = 10" ? πηγα?νοντα? λ?γο παραπ?ρα "Βρε?τε x τ?τοιο ?στε ax + b = c". Αυτ? το β?μα μα? οδηγε? στο συμπ?ρασμα ?τι δεν ε?ναι η φ?ση των συγκεκριμ?νων αριθμ?ν που μα? επιτρ?πει να το λ?σουμε, αλλ? οι διεργασ?ε? που εμπλ?κονται.)
• Επιτρ?πει τη διαμ?ρφωση των λειτουργικ?ν σχ?σεων. (Για παρ?δειγμα, "Αν πουλ?τε x εισιτ?ρια, τ?τε το κ?ρδο? σα? θα ε?ναι 3x ? 10 δολ?ρια, ? f(x) = 3x ? 10, ?που f ε?ναι η συν?ρτηση, και x ε?ναι ο αριθμ?? στον οπο?ο η συν?ρτηση εφαρμ?ζεται".)

Πολυ?νυμα

Η γραφικ? παρ?σταση τη? πολυωνυμικ?? συν?ρτηση? τρ?του βαθμο?.

?να πολυ?νυμο ε?ναι μια ?κφραση η οπο?α ε?ναι το ?θροισμα των πεπερασμ?νων μη-μηδενικ?ν ?ρων, ?που κ?θε ?ρο? αποτελε?ται απ? ?να σταθερ? και πεπερασμ?νο αριθμ? μεταβλητ?ν που ε?ναι υψωμ?νοι σε ακ?ραιο αριθμ? δυν?μεων. Για παρ?δειγμα, το x² + 2x ? 3 ε?ναι ?να πολυ?νυμο με τη μοναδικ? μεταβλητ? x. Μια πολυωνυμικ? ?κφραση ε?ναι μια ?κφραση που μπορε? να ξαναγραφε? ω? πολυωνυμικ?, με τη χρ?ση τη? αντιμεταθετικ??, τη? προσεταιριστικ?? και τη? επιμεριστικ?? ιδι?τητα? τη? πρ?σθεση? και του πολλαπλασιασμο?. Για παρ?δειγμα, το (x ? 1)(x + 3) ε?ναι μια πολυωνυμικ? ?κφραση, που, στην κυριολεξ?α, δεν ε?ναι πολυ?νυμο. Μια πολυωνυμικ? συν?ρτηση ε?ναι μια συν?ρτηση που ορ?ζεται απ? ?να πολυ?νυμο, ?, αντ?στοιχα, με μ?α πολυωνυμικ? ?κφραση. Τα δ?ο προηγο?μενα παραδε?γματα καθορ?ζουν την ?δια πολυωνυμικ? συν?ρτηση.

Δ?ο σημαντικ? και συναφ? προβλ?ματα στην ?λγεβρα ε?ναι η παραγοντοπο?ηση πολυων?μων, δηλαδ?, η ?κφραση εν?? δεδομ?νου πολυων?μου ω? προ??ν ?λλων πολυων?μων που δεν μπορο?ν να παραγοντοποιηθο?ν περαιτ?ρω, και ο υπολογισμ?? του μ?γιστου κοινο? πολυωνυμικο? διαιρ?τη. Το παραπ?νω πολυωνυμικ? παρ?δειγμα μπορε? να υπολογιστε? ω? (x ? 1)(x + 3). Μια σχετικ? κατηγορ?α των προβλημ?των ε?ναι η ε?ρεση αλγεβρικ?ν εκφρ?σεων για τι? ρ?ζε? εν?? πολυων?μου σε μια μοναδικ? μεταβλητ?.

Εκπα?δευση

?χει προταθε? ?τι η στοιχει?δη? ?λγεβρα θα πρ?πει να διδ?σκεται σε μαθητ?? ηλικ?α? ?ντεκα ετ?ν, αν και τα τελευτα?α χρ?νια ε?ναι κοιν? για τα δημ?σια σχολε?α των Ηνωμ?νων Πολιτει?ν να ξεκινο?ν στο επ?πεδο του γυμνασ?ου (≈ 13 χρον?ν ±).

Απ? το 1997, το Virginia Tech και μερικ? ?λλα πανεπιστ?μια ?χουν αρχ?σει να χρησιμοποιο?ν ?να εξατομικευμ?νο μοντ?λο διδασκαλ?α? τη? ?λγεβρα?, που συνδυ?ζει την ?μεση ανατροφοδ?τηση απ? εξειδικευμ?νο λογισμικ? ηλεκτρονικ?ν υπολογιστ?ν με one-on-one και μικρ?? ομ?δε? διδασκαλ?α?, η οπο?α με?ωσε το κ?στο? και α?ξησε την επ?δοση των μαθητ?ν.

Αφηρημ?νη ?λγεβρα

Η Αφηρημ?νη ?λγεβρα επεκτε?νει τι? γνωστ?? ?ννοιε? που περιλαμβ?νονται στη στοιχει?δη ?λγεβρα και την αριθμητικ? των αριθμ?ν σε πιο γενικ?? ?ννοιε?. Εδ? παρατ?θενται οι βασικ?? ?ννοιε? στην αφηρημ?νη ?λγεβρα.

Σ?νολα: Εκτ?? απ? την εξ?ταση των δι?φορων ειδ?ν των αριθμ?ν, η αφηρημ?νη ?λγεβρα ασχολε?ται με τη γενικ?τερη ?ννοια του συν?λου: μια συλλογ? απ? αντικε?μενα (που ονομ?ζονται στοιχε?α) επιλ?γονται για το σ?νολο με β?ση τι? ιδι?τητ?? του?. ?λε? οι συλλογ?? απ? τα γνωστ? ε?δη των αριθμ?ν ε?ναι σ?νολα. ?λλα παραδε?γματα συν?λων περιλαμβ?νουν το σ?νολο των 2x2 πιν?κων, το σ?νολο ?λων των δευτεροβ?θμιων πολυων?μων (ax² + bx + c), το σ?νολο ?λων των δισδι?στατων διανυσμ?των στο επ?πεδο και τι? δι?φορε? πεπερασμ?νε? ομ?δε? ?πω? οι κυκλικ?? ομ?δε?, οι οπο?ε? ε?ναι οι ομ?δε? των ακερα?ων modulo n. Η θεωρ?α συν?λων ε?ναι ?να? κλ?δο? τη? λογικ?? και δεν ε?ναι τεχνικ? ?να? κλ?δο? τη? ?λγεβρα?.

Δυαδικ?? πρ?ξει?: Η ?ννοια τη? πρ?σθεση? (+) χρησιμοποιε?ται για να δ?σει μια δυαδικ? πρ?ξη, λ?νε. Η ?ννοια τη? δυαδικ?? λειτουργ?α? δεν ?χει ν?ημα χωρ?? το σ?νολο στο οπο?ο ορ?ζεται η πρ?ξη. Για δ?ο στοιχε?α a και b σε ?να σ?νολο S, το a ? b ε?ναι ?να ?λλο στοιχε?ο στο σ?νολο, αυτ? η κατ?σταση ονομ?ζεται κλειστ?. Η πρ?σθεση (+), η αφα?ρεση (?), ο πολλαπλασιασμ?? ( × ) και η δια?ρεση (÷) μπορο?ν να ε?ναι δυαδικ?? πρ?ξει?, ?ταν ορ?ζονται σε διαφορετικ? σ?νολα, ?πω? ε?ναι η πρ?σθεση και ο πολλαπλασιασμ?? των πιν?κων, των διανυσμ?των, και των πολυων?μων.

Ουδ?τερα στοιχε?α: Οι αριθμο? μηδ?ν και ?να ?χουν την ?ννοια των ουδ?τερων στοιχε?ων για μια πρ?ξη. Το μηδ?ν ε?ναι το ουδ?τερο στοιχε?ο τη? πρ?σθεση? και το ?να ε?ναι το ουδ?τερο στοιχε?ο για τον πολλαπλασιασμ?. Για μια γενικ? δυαδικ? πρ?ξη ? το ουδ?τερο στοιχε?ο e πρ?πει να ικανοποιε? τη σχ?ση a ? e = a και e ? a = a, και ε?ναι κατ ' αν?γκη μοναδικ?, αν υπ?ρχει. Αυτ? ισχ?ει για την πρ?σθεση ω? a + 0 = a και 0 + a = a και για τον πολλαπλασιασμ? a × 1 = a και 1 × a = a. Δεν ?χουν ?λα τα σ?νολα και οι συνδυασμο? πρ?ξεων ?να ουδ?τερο στοιχε?ο, για παρ?δειγμα, το σ?νολο των θετικ?ν φυσικ?ν αριθμ?ν (1, 2, 3, ...) δεν ?χει ουδ?τερο στοιχε?ο για την πρ?σθεση.

Αντ?στροφα στοιχε?α: Οι αρνητικο? αριθμο? οδηγο?ν στην ?ννοια του αντ?στροφου στοιχε?ου. Για την πρ?σθεση, ο αντ?στροφο? του α γρ?φεται ?α, και για τον πολλαπλασιασμ? το αντ?στροφο ε?ναι γραμμ?νο ω? α^?1. ?να γενικ? δ?ο ?ψεων αντ?στροφο στοιχε?ο a^?1 ικανοποιε? την ιδι?τητα ?τι a ? a^?1 = e και a^?1 ? a = e, ?που e ε?ναι το στοιχε?ο ταυτ?τητα?.

Προσεταιριστικ? ιδι?τητα: Η πρ?σθεση των ακερα?ων ?χει μια ιδι?τητα που ονομ?ζεται η προσεταιριστικ?. Δηλαδ?, η ομαδοπο?ηση των αριθμ?ν που θα προστεθο?ν δεν επηρε?ζει το τελικ? ?θροισμα. Για παρ?δειγμα: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Σε γενικ?? γραμμ??, αυτ? γ?νεται (α ? β) ? γ = α ? (β ? γ). Αυτ? η ιδι?τητα ε?ναι κοιν? για τι? περισσ?τερε? δυαδικ?? πρ?ξει?, αλλ? ?χι για την αφα?ρεση ? τη δια?ρεση ? τον πολλαπλασιασμ? octonion.

Αντιμεταθετικ? ιδι?τητα: Η πρ?σθεση και ο πολλαπλασιασμ?? των πραγματικ?ν αριθμ?ν ε?ναι και οι δ?ο αντιμεταθετικ??. Δηλαδ?, η σειρ? των αριθμ?ν δεν επηρε?ζει το αποτ?λεσμα. Για παρ?δειγμα: 2 + 3 = 3 + 2. Σε γενικ?? γραμμ??, αυτ? γ?νεται α ? β = β ? α. Αυτ? η ιδι?τητα δεν ισχ?ει για ?λε? τι? δυαδικ?? πρ?ξει?. Για παρ?δειγμα, ο πολλαπλασιασμ?? πιν?κων και ο πολλαπλασιασμ?? quaternion ε?ναι και οι δ?ο μη-αντιμεταθετικο?.

Ομ?δε?

Συνδυ?ζοντα? τι? παραπ?νω ?ννοιε?, πα?ρνουμε μ?α απ? τι? πιο σημαντικ?? δομ?? στα μαθηματικ?: μια ομ?δα. Μια ομ?δα ε?ναι ?να? συνδυασμ?? απ? ?να σ?νολο S και μ?α μον? δυαδικ? πρ?ξη ?, που ορ?ζεται με οποιοδ?ποτε τρ?πο που θα επιλ?ξουμε, αλλ? με τι? ακ?λουθε? ιδι?τητε?:

• Υπ?ρχει ?να ουδ?τερο στοιχε?ο e, τ?τοιο ?στε για κ?θε στοιχε?ο a του S, να ισχ?ει ?τι τα e ? a και a ? e ε?ναι και τα δ?ο ισοδ?ναμα με το ?να.
• Κ?θε στοιχε?ο ?χει ?ναν αντ?στροφο: για κ?θε στοιχε?ο a του S, υπ?ρχει ?να στοιχε?ο a^?1 τ?τοιο ?στε τα a ? a^?1 και a^?1 ? a να ε?ναι ισοδ?ναμα με το ουδ?τερο στοιχε?ο.
• Η πρ?ξη ε?ναι προσεταιριστικ?: αν a, b και c ε?ναι στοιχε?α του S, τ?τε το (a ? b) ? c ε?ναι ισοδ?ναμο με a ? (b ? c).

Αν μια ομ?δα ε?ναι επ?ση? αντιμεταθετικ?, - δηλαδ? για κ?θε δ?ο στοιχε?α a και b του S, το a ? b ε?ναι ισοδ?ναμο με το b ? a - τ?τε η ομ?δα ε?ναι αβελιαν?.

Για παρ?δειγμα, το σ?νολο των ακερα?ων στο πλα?σιο τη? πρ?ξη? τη? πρ?σθεση? ε?ναι μια ομ?δα. Σε αυτ? την ομ?δα, το ουδ?τερο στοιχε?ο ε?ναι το 0 και το αντ?στροφο κ?θε στοιχε?ου a ε?ναι το αρνητικ?, ?a. Η προσεταιριστικ? ιδι?τητα ικανοποιε?ται, δι?τι για κ?θε ακ?ραιο a, b και c, ισχ?ει (a + b) + c = a + (b + c)

Οι μη-μηδενικο? ρητο? αριθμο? αποτελο?ν μια ομ?δα με την πρ?ξη του πολλαπλασιασμο?. Εδ?, το ουδ?τερο στοιχε?ο ε?ναι το 1, τ?τε θα ισχ?ει 1 × a = a × 1 = a για κ?θε ρητ? αριθμ? a. Το αντ?στροφο του a ε?ναι 1/a, τ?τε a × 1/a = 1.

Οι ακ?ραιοι αριθμο? με την πρ?ξη του πολλαπλασιασμο?, ωστ?σο, δεν αποτελο?ν ομ?δα. Αυτ? ε?ναι επειδ?, σε γενικ?? γραμμ??, το πολλαπλασιαστικ? αντ?στροφο εν?? ακερα?ου αριθμο? δεν ε?ναι ακ?ραιο?. Για παρ?δειγμα, το 4 ε?ναι ακ?ραιο?, αλλ? το πολλαπλασιαστικ? αντ?στροφ? του ε?ναι το ?, το οπο?ο δεν ε?ναι ακ?ραιο?.

Η θεωρ?α των ομ?δων ?χει μελετηθε? στη θεωρ?α ομ?δων. ?να σημαντικ? αποτ?λεσμα σε αυτ? τη θεωρ?α ε?ναι η κατ?ταξη των πεπερασμ?νων απλ?ν ομ?δωνν, το οπο?ο δημοσιε?τηκε μεταξ? του 1955 και του 1983, η οπο?α χωρ?ζει τι? πεπερασμ?νε? απλ?? ομ?δε? σε περ?που 30 βασικο?? τ?που?.

Οι ημιομ?δε?, τα quasigroups, και τα μονοειδ? ε?ναι δομ?? παρ?μοιε? με ομ?δε?, αλλ? πιο γενικ??. Αποτελο?νται απ? ?να σ?νολο και μια κλειστ? δυαδικ? πρ?ξη, αλλ? δεν πρ?πει απαρα?τητα να πληρο?ν τι? υπ?λοιπε? προ?ποθ?σει?. Μ?α ημιομ?δα ?χει μ?α συνδυαστικ? δυαδικ? πρ?ξη, αλλ? μπορε? να μην ?χει ουδ?τερο στοιχε?ο. ?να μονοειδ?? ε?ναι μ?α ημιομ?δα που ?χει ουδ?τερο στοιχε?ο, αλλ? μπορε? να μην ?χει αντ?στροφο για το κ?θε στοιχε?ο. ?να quasigroup πληρο? την απα?τηση ?τι κ?θε στοιχε?ο μπορε? να μετατραπε? σε οποιοδ?ποτε ?λλο ε?τε απ? ?να μοναδικ? αριστερ?-πολλαπλασιασμ? ? δεξι?-πολλαπλασιασμ?, ωστ?σο, η δυαδικ? λειτουργ?α μπορε? να μην ε?ναι προσεταιριστικ?.

?λε? οι ομ?δε? ε?ναι μονοειδ?, και ?λα τα μονοειδ? ε?ναι ημιομ?δε?.

Παραδε?γματα

Σ?νολο	Φυσικο? αριθμο? N		Ακ?ραιοι Z		Ρητο? αριθμο? Q (επ?ση? πραγματικο? R και μιγαδικο? C αριθμο?)				Ακ?ραιοι modulo 3: Z3 = {0, 1, 2}
Πρ?ξη	+	× (εκτ?? του μηδεν??)	+	× (εκτ?? του μηδεν??)	+	?	× (εκτ?? του μηδεν??)	÷ (εκτ?? του μηδεν??)	+	× (εκτ?? του μηδεν??)
Κλειστ?	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι
Ουδ?τερο στοιχε?ο	0	1	0	1	0	Μη εφαρμ?σιμο	1	Μη εφαρμ?σιμο	0	1
Αντ?στροφο?	Μη εφαρμ?σιμο	Μη εφαρμ?σιμο	?a	Μη εφαρμ?σιμο	?a	Μη εφαρμ?σιμο	1/a	Μη εφαρμ?σιμο	0, 2, 1, αντ?στοιχα	Μη εφαρμ?σιμο,1, 2, αντ?στοιχα
Προσεταιριστικ?	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	?χι	Ναι	?χι	Ναι	Ναι
Αντιμεταθετικ?	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	?χι	Ναι	?χι	Ναι	Ναι
Δομ?	μονοειδ??	αβελιαν? ομ?δα	μονοειδ??		αβελιαν? ομ?δα	quasigroup	αβελιαν? ομ?δα	quasigroup	αβελιαν? ομ?δα	αβελιαν? ομ?δα (Z2)

Δακτ?λιοι και πεδ?α

Οι ομ?δε? ?χουν μ?νο μ?α δυαδικ? πρ?ξη. Για να εξηγ?σουμε πλ?ρω? τη συμπεριφορ? των δι?φορων τ?πων των αριθμ?ν, πρ?πει να μελετηθο?ν οι δομ?? με δ?ο πρ?ξει?. Οι πιο σημαντικ?? απ? αυτ?? ε?ναι οι δακτ?λιοι και τα πεδ?α.

?να? δακτ?λιο? ?χει δ?ο δυαδικ?? πρ?ξει? (+) και (x) με το (x) να ε?ναι επιμεριστικ? επ?νω στο (+). Με την πρ?τη πρ?ξη (+) αποτελε? μ?α αβελιαν? ομ?δα. Εν?, με τη δε?τερη πρ?ξη (x) ε?ναι προσεταιριστικ??, αλλ? δεν χρει?ζεται να ?χει ουδ?τερο ? αντ?στροφο στοιχε?ο, ?τσι η δια?ρεση δεν απαιτε?ται. Το ουδ?τερο στοιχε?ο τη? πρ?σθεση? γρ?φεται ω? 0 και το αντ?στροφο στοιχε?ο τη? πρ?σθεση? γρ?φεται ω? –a.

Η επιμεριστικ?τητα γενικε?ει την επιμεριστικ? ιδι?τητα για του? αριθμο??. Για του? ακ?ραιου? (a + b) × c = a × c + b × c και c × (a + b) = c × a + c × b, και το (x) ε?ναι επιμεριστικ? π?νω στο (+).

Οι ακ?ραιοι ε?ναι ?να παρ?δειγμα εν?? δακτυλ?ου. Οι ακ?ραιοι ?χουν πρ?σθετε? ιδι?τητε? που τον καθιστο?ν ?ναν αναπ?σπαστο τομ?α.

?να πεδ?ο ε?ναι ?να? δακτ?λιο? με την πρ?σθετη ιδι?τητα ?τι ?λα τα στοιχε?α εκτ?? απ? το 0 σχηματ?ζουν μια αβελιαν? ομ?δα με το (x). Το ουδ?τερο στοιχε?ο του πολλαπλασιασμο? γρ?φεται ω? 1 και το αντ?στροφο του α γρ?φεται ω? a^?1.

Οι ρητο? αριθμο?, οι πραγματικο? αριθμο? και οι μιγαδικο? αριθμο? ε?ναι ?λοι παραδε?γματα πεδ?ων.